Od czego zależy siła wyporu

Siła wyporu zależy przede wszystkim od gęstości cieczy, przyspieszenia grawitacyjnego i objętości wypartej cieczy. W najprostszym modelu hydrostatycznym opisuje to prawo Archimedesa, zapisane wzorem Fw = ρgV. Oznacza to, że ciecz „wypycha” ciało nie dlatego, że jest ono lekkie lub ciężkie samo w sobie, ale dlatego, że ciśnienie w cieczy rośnie z głębokością i działa na zanurzone ciało z różną siłą od dołu i od góry. To właśnie różnica ciśnień daje wypadkową siłę skierowaną ku górze.

Zagadnienie siły wyporu należy do hydrostatyki, czyli działu fizyki opisującego ciecze w spoczynku lub w stanie równowagi. Aby dobrze zrozumieć, od czego zależy siła wyporu, trzeba odróżnić ciśnienie od siły, masę od ciężaru oraz zrozumieć, jak zmienia się ciśnienie hydrostatyczne wraz z głębokością. Dopiero wtedy staje się jasne, dlaczego stalowy statek może pływać, a mały stalowy gwóźdź tonie.

Podstawa fizyczna siły wyporu

W cieczy pozostającej w spoczynku ciśnienie rośnie wraz z głębokością. Dla cieczy jednorodnej, o stałej gęstości, w warunkach równowagi hydrostatycznej przyrost ciśnienia opisuje zależność:

p = ρgh

gdzie:

p – ciśnienie hydrostatyczne w paskalach, Pa,
ρ – gęstość cieczy w kilogramach na metr sześcienny, kg/m³,
g – przyspieszenie grawitacyjne w metrach na sekundę do kwadratu, m/s²,
h – głębokość lub wysokość słupa cieczy w metrach, m.

Ten wzór nie daje zawsze całkowitego ciśnienia w cieczy, lecz przyrost ciśnienia wynikający z ciężaru słupa cieczy. Jeśli na powierzchnię cieczy działa jeszcze ciśnienie atmosferyczne lub inne ciśnienie zewnętrzne, to dla ciśnienia całkowitego trzeba je dodać. Wtedy:

pcałk = p0 + ρgh

gdzie p0 to ciśnienie działające na powierzchnię cieczy. Gdy mówimy o ciśnieniu względnym, często pomijamy składnik p0, bo interesuje nas tylko wzrost ciśnienia względem powierzchni.

Dlaczego to ważne dla wyporu? Ponieważ dolna część zanurzonego ciała znajduje się zwykle głębiej niż górna, więc działa na nią większe ciśnienie. A skoro ciśnienie i siła są związane wzorem:

p = F/A

to można zapisać równoważnie:

F = pA

gdzie:

F – siła w niutonach, N,
A – pole powierzchni w metrach kwadratowych, m².

Siła wyporu jest więc skutkiem tego, że ciecz naciska na zanurzone ciało ze wszystkich stron, ale na większej głębokości robi to mocniej. Ciśnienie działa we wszystkich kierunkach, nie tylko w dół.

Prawo Archimedesa i najważniejsza zależność

Najważniejszym prawem opisującym wypór jest prawo Archimedesa. Współczesna postać tego prawa mówi, że na ciało zanurzone w cieczy działa skierowana ku górze siła wyporu równa ciężarowi cieczy wypartej przez to ciało.

Matematycznie zapisuje się to jako:

Fw = ρgV

gdzie:

Fw – siła wyporu w niutonach, N,
ρ – gęstość cieczy, kg/m³,
g – przyspieszenie grawitacyjne, m/s²,
V – objętość wypartej cieczy, czyli objętość zanurzonej części ciała, m³.

Jednostki się zgadzają wymiarowo: kg/m³ · m/s² · m³ = kg·m/s² = N.

To prawo obowiązuje w klasycznym modelu hydrostatycznym dla cieczy w równowadze. W wielu zadaniach przyjmuje się, że ciecz jest nieściśliwa i jednorodna. To dobre przybliżenie dla wody na niewielkich głębokościach, ale w rzeczywistych układach technicznych lub geofizycznych gęstość może zależeć od temperatury, ciśnienia i składu cieczy.

Od czego dokładnie zależy siła wyporu

Z wzoru Fw = ρgV wynika, że siła wyporu zależy bezpośrednio od trzech wielkości:

gęstości cieczy ρ – im większa gęstość cieczy, tym większy wypór,
przyspieszenia grawitacyjnego g – im większe g, tym większy ciężar wypartej cieczy, a więc i większy wypór,
objętości wypartej cieczy V – im większa zanurzona objętość ciała, tym większa siła wyporu.

Nie ma tu bezpośrednio masy ciała. To jedna z najważniejszych rzeczy do zapamiętania. Dwa ciała o tej samej objętości zanurzonej w tej samej cieczy doświadczą takiej samej siły wyporu, nawet jeśli jedno jest z drewna, a drugie z ołowiu. Różnica polega na tym, że ich ciężar jest inny.

Dlaczego siła wyporu nie zależy od kształtu naczynia

Ciśnienie hydrostatyczne na danej głębokości w tej samej jednorodnej cieczy jest takie samo niezależnie od kształtu naczynia. To ważny element tak zwanego paradoksu hydrostatycznego. Jeżeli dwa punkty leżą na tej samej głębokości w tej samej cieczy znajdującej się w równowadze, mają to samo ciśnienie.

Dlatego, w prostym modelu, ciśnienie hydrostatyczne zależy od h, ρ i g, a nie od tego, czy naczynie jest wąskie, szerokie, rozszerzające się czy zwężające. Oczywiście całkowita siła, jaką ciecz wywiera na całe naczynie, może zależeć także od sił działających na ściany boczne, ale samo ciśnienie na określonej głębokości nie zależy od kształtu zbiornika.

To samo pośrednio wyjaśnia siłę wyporu. Jeśli zanurzymy ciało na daną głębokość, o wyporze decyduje rozkład ciśnienia wynikający z głębokości i objętości zanurzonej części ciała, a nie „ilość wody w zbiorniku”.

Pływanie, tonięcie i unoszenie się w cieczy

O tym, czy ciało pływa, tonie czy pozostaje zawieszone w cieczy, decyduje porównanie siły wyporu i ciężaru ciała.

Jeśli Fw < Q, gdzie Q = mg, ciało tonie.
Jeśli Fw = Q, ciało może pozostawać w równowadze w cieczy.
Jeśli Fw > Q dla początkowego zanurzenia, ciało wypływa ku powierzchni, aż osiągnie stan równowagi przy częściowym zanurzeniu.

gdzie:

Q – ciężar ciała w niutonach, N,
m – masa ciała w kilogramach, kg.

Dla ciała pływającego zachodzi szczególnie ważna zasada: ciało wypiera tyle cieczy, ile wynosi jego własny ciężar. Nie oznacza to, że całe ciało musi być zanurzone. W praktyce większość ciał pływających jest zanurzona tylko częściowo.

Najwygodniej interpretować to przez średnią gęstość ciała:

jeśli średnia gęstość ciała jest mniejsza od gęstości cieczy, ciało może pływać,
jeśli jest większa, ciało tonie,
jeśli jest równa, ciało może unosić się w cieczy na dowolnej głębokości, przy zaniedbaniu innych efektów.

To wyjaśnia, dlaczego statek stalowy pływa. Nie dlatego, że stal ma małą gęstość, lecz dlatego, że cały statek wraz z pustymi przestrzeniami ma średnią gęstość mniejszą od gęstości wody.

Pozorny ciężar ciała zanurzonego

Ciało zanurzone w cieczy wydaje się lżejsze. Mówimy wtedy o pozornym ciężarze. Jest to siła, jaką ciało naciska na podparcie lub napina linkę podczas zanurzenia.

W prostym przypadku:

Qpoz = Q – Fw

gdzie:

Qpoz – pozorny ciężar ciała w cieczy, N,
Q – rzeczywisty ciężar ciała, N,
Fw – siła wyporu, N.

Jeśli zanurzymy metalowy przedmiot na dynamometrze, wskazanie zmniejszy się właśnie o wartość siły wyporu. To jeden z najprostszych eksperymentów potwierdzających prawo Archimedesa.

Związek siły wyporu z ciśnieniem hydrostatycznym

Prawo Archimedesa można zrozumieć bezpośrednio z rozkładu ciśnienia. Wyobraźmy sobie prostopadłościenne ciało zanurzone w cieczy. Na jego górną powierzchnię działa ciśnienie mniejsze niż na dolną, bo górna powierzchnia jest płycej. Siły działające na ściany boczne w dużej mierze równoważą się poziomo, natomiast w pionie pozostaje nadwyżka siły od dołu.

Ta różnica daje właśnie wypór. W bardziej ogólnej formie można powiedzieć, że siła wyporu jest skutkiem przestrzennej zmiany ciśnienia w polu grawitacyjnym. Dlatego wypór nie jest osobnym „dodatkowym efektem”, lecz logiczną konsekwencją hydrostatyki.

Rola ciśnienia atmosferycznego, naczyń połączonych i prawa Pascala

Ciśnienie atmosferyczne działa także na powierzchnię cieczy. Jeśli naczynie jest otwarte, to ciśnienie całkowite w cieczy jest sumą ciśnienia atmosferycznego i hydrostatycznego przyrostu ρgh. Dla wyporu w wielu prostych sytuacjach wpływ jednakowego ciśnienia atmosferycznego „znosi się”, bo działa ono zarówno od góry, jak i pośrednio przez ciecz od dołu i z boków. Dlatego w szkolnym wzorze na siłę wyporu zwykle go nie widać.

Zasada naczyń połączonych mówi, że w naczyniach połączonych, zawierających tę samą jednorodną ciecz i pozostających pod tym samym ciśnieniem zewnętrznym, poziomy cieczy ustalają się na tej samej wysokości. Gdy ciecze mają różne gęstości, wysokości słupów są różne, ale ciśnienia na tym samym poziomie muszą się równoważyć.

To właśnie wykorzystują manometry cieczowe, w których różnica wysokości słupów cieczy odpowiada różnicy ciśnień. Im większa gęstość cieczy manometrycznej, tym mniejszy słup potrzeba do zrównoważenia tej samej różnicy ciśnień. Historycznie podobną ideę wykorzystuje barometr rtęciowy, w którym ciśnienie atmosferyczne równoważy ciężar słupa rtęci.

Prawo Pascala mówi natomiast, że zmiana ciśnienia wywierana na ciecz zamkniętą rozchodzi się w niej jednakowo we wszystkich kierunkach. Dzięki temu działają prasy, podnośniki i hamulce hydrauliczne. Jeśli na mały tłok działa siła F1 na pole A1, a na duży tłok pole A2, to przy zaniedbaniu strat ciśnienia:

F1/A1 = F2/A2

czyli większa powierzchnia tłoka może dać większą siłę. Nie oznacza to jednak tworzenia energii. Wzrost siły odbywa się kosztem większej drogi ruchu mniejszego tłoka lub innych parametrów układu.

Najważniejsze informacje

Zagadnienie	Zależność lub opis	Znaczenie fizyczne	Przykład
Ciśnienie hydrostatyczne	p = ρgh dla przyrostu ciśnienia w cieczy jednorodnej	Pokazuje, że ciśnienie rośnie z głębokością i zależy od gęstości cieczy oraz grawitacji	Nurek odczuwa większy nacisk wody głębiej pod powierzchnią
Ciśnienie całkowite	pcałk = p0 + ρgh	Do przyrostu hydrostatycznego trzeba dodać ciśnienie działające na powierzchnię cieczy	W otwartym zbiorniku p0 jest zwykle ciśnieniem atmosferycznym
Związek ciśnienia z siłą	p = F/A	Pozwala przejść od nacisku cieczy na powierzchnię do działającej siły	Obliczanie siły parcia na dno zbiornika
Siła wyporu	Fw = ρgV	Wypór zależy od ciężaru wypartej cieczy, a nie bezpośrednio od masy ciała	Klocek drewna i metalowy blok o tej samej zanurzonej objętości mają taki sam wypór
Warunek pływania	Dla równowagi ciała pływającego Fw = Q	Ciało pływające wypiera tyle cieczy, ile wynosi jego ciężar	Statek zanurza się tylko do takiej głębokości, by wypór zrównoważył jego ciężar
Naczynia połączone	Na tym samym poziomie ciśnienia w połączonej cieczy są równe	Wyjaśnia wyrównywanie poziomów i działanie manometrów	Wieża ciśnień i U-rurka manometryczna
Prawo Pascala	Zmiana ciśnienia w zamkniętej cieczy przenosi się jednakowo	Umożliwia wzmacnianie siły dzięki różnym polom tłoków	Podnośnik i hamulce hydrauliczne
Pozorny ciężar	Qpoz = Q – Fw	Pokazuje, o ile ciało wydaje się lżejsze po zanurzeniu	Dynamometr wskazuje mniejszą wartość po zanurzeniu obiektu w wodzie

Praktyczne zastosowania siły wyporu i hydrostatyki

Najbardziej znanym zastosowaniem siły wyporu są statki i łodzie. Projektant nie pyta tylko o masę jednostki, ale o jej średnią gęstość, rozkład masy, zanurzenie i bezpieczeństwo przy różnych obciążeniach. Kadłub ma dużą objętość, więc może wyprzeć dużą ilość wody, a to daje dużą siłę wyporu.

Łodzie podwodne regulują swoją pływalność przez zmianę ilości wody w zbiornikach balastowych. Gdy średnia gęstość łodzi wzrasta, jednostka zanurza się głębiej. Gdy maleje, łódź się wynurza. Sam mechanizm sterowania ruchem w wodzie wykracza już częściowo poza klasyczną hydrostatykę i wchodzi w hydrodynamikę, ale stan równowagi pływalności jest zagadnieniem hydrostatycznym.

W medycynie i rehabilitacji wypór zmniejsza pozorny ciężar ciała zanurzonego w wodzie. Dzięki temu ruch w basenie odciąża stawy i ułatwia ćwiczenia osobom po urazach.

W geologii i inżynierii lądowej ważne jest parcie cieczy na ściany zbiorników, tuneli i zapór. Ciśnienie rośnie z głębokością, dlatego dolne partie zapory muszą być znacznie masywniejsze niż górne. Na powierzchniach pionowych i nachylonych nacisk cieczy nie jest równomierny, a jego wypadkowa działa w punkcie zwanym środkiem parcia, położonym zwykle niżej niż geometryczny środek zanurzonej powierzchni.

W wodociągach i wieżach ciśnień wykorzystuje się fakt, że wysokość słupa cieczy determinuje ciśnienie w instalacji. To bezpośrednie zastosowanie zależności hydrostatycznej, a nie przepływowej.

Areometry mierzą gęstość cieczy dzięki wyporowi. Pływają głębiej w cieczy o mniejszej gęstości, a płycej w cieczy gęstszej. Podobnie działają niektóre proste przyrządy laboratoryjne i przemysłowe.

Najczęstsze błędy i nieporozumienia

„Siła wyporu zależy od masy ciała.” Nie bezpośrednio. Zależy od gęstości cieczy, g i objętości wypartej cieczy.
„Cięższe przedmioty zawsze toną.” Nieprawda. O pływaniu decyduje porównanie ciężaru z siłą wyporu oraz średnia gęstość ciała.
„Szersze naczynie daje większe ciśnienie na tej samej głębokości.” W prostym modelu hydrostatycznym nie. Ciśnienie zależy od głębokości, gęstości cieczy i g.
„Ciśnienie i siła to to samo.” Nie. Ciśnienie to siła przypadająca na jednostkę powierzchni, wyrażana w Pa, a siła w N.
„Ciśnienie hydrostatyczne to zawsze całe ciśnienie w cieczy.” Nie. To tylko część związana z ciężarem słupa cieczy; trzeba jeszcze uwzględnić ciśnienie działające na powierzchnię.
„Układ hydrauliczny tworzy dodatkową energię.” Nie. Daje zysk siły dzięki geometrii układu, ale kosztem drogi ruchu i przy realnych stratach energii.
„Więcej wody w zbiorniku zawsze oznacza większe ciśnienie wszędzie.” Nie. Na danej głębokości liczy się głównie wysokość słupa cieczy nad punktem, a nie całkowita objętość zbiornika.

Jak zaobserwować lub zmierzyć siłę wyporu

Najprostszy bezpieczny eksperyment polega na użyciu dynamometru, naczynia z wodą i niewielkiego przedmiotu, który można całkowicie zanurzyć. Najpierw mierzy się ciężar ciała w powietrzu, a następnie jego pozorny ciężar w wodzie. Różnica wskazań jest równa sile wyporu.

Można też zmierzyć objętość wypartej cieczy, na przykład przez zebranie wylanej wody z naczynia przelewowego. Jeśli znamy gęstość cieczy i przyspieszenie grawitacyjne, obliczamy wypór ze wzoru Fw = ρgV.

Przykład liczbowy:

Dane:

objętość zanurzonej części ciała V = 0,002 m³,
gęstość wody w przybliżeniu ρ = 1000 kg/m³,
przyspieszenie grawitacyjne g = 9,81 m/s².

Wzór:

Fw = ρgV

Podstawienie:

Fw = 1000 · 9,81 · 0,002

Obliczenie:

Fw = 19,62 N

Interpretacja: na ciało działa siła wyporu około 19,6 N, czyli taka, jaka odpowiada ciężarowi 2 litrów wody. To właśnie sens prawa Archimedesa.

W dokładniejszych pomiarach trzeba uwzględnić temperaturę, bo zmienia ona gęstość cieczy. Dla małych naczyń istotny bywa też menisk i napięcie powierzchniowe, ale w typowych zadaniach szkolnych zwykle się je pomija.

Ciekawostki

Prawo Archimedesa sformułowano w starożytności, ale jego współczesny zapis matematyczny jest wynikiem późniejszego rozwoju fizyki.
Rtęć jest znacznie gęstsza od wody, dlatego w barometrze wystarcza dużo niższy słup cieczy niż gdyby użyto wody.
Człowiek łatwiej unosi się w Morzu Martwym niż w jeziorze, ponieważ bardziej słona woda ma większą gęstość.
Niektóre ryby regulują pływalność za pomocą pęcherza pławnego, zmieniając swoją średnią gęstość.
Hydrostatyczny paradoks pokazuje, że mała ilość cieczy w wysokim, wąskim naczyniu może dawać takie samo ciśnienie przy dnie jak duża ilość cieczy w szerokim zbiorniku, jeśli wysokość słupa cieczy jest taka sama.
W ciałach stałych i cieczach ciśnienie bywa mylone z naciskiem, choć są to różne wielkości fizyczne o różnych jednostkach.
W rzeczywistości ciecze są nieco ściśliwe, ale w wielu problemach hydrostatycznych przybliżenie nieściśliwości działa bardzo dobrze.
Na innych planetach lub księżycach siła wyporu byłaby inna, bo zależy od lokalnej wartości przyspieszenia grawitacyjnego.

FAQ

Czy siła wyporu zależy od głębokości zanurzenia?

Jeśli ciało jest całkowicie zanurzone w jednorodnej cieczy i jego objętość zanurzona się nie zmienia, to w prostym modelu siła wyporu nie zależy od samej głębokości. Zależy od objętości wypartej cieczy, gęstości cieczy i g. Głębokość zmienia ciśnienie, ale zmienia je zarówno na górze, jak i na dole ciała; różnica ciśnień pozostaje taka sama dla tej samej wysokości ciała.

Dlaczego statek pływa, a mały kawałek metalu tonie?

Bo liczy się średnia gęstość całego obiektu, a nie sam materiał. Statek ma wielką objętość dzięki pustym przestrzeniom w kadłubie, więc może wyprzeć dużo wody i uzyskać dużą siłę wyporu. Mały, zwarty metalowy przedmiot ma małą objętość względem swojej masy, więc jego ciężar przewyższa wypór.

Czy siła wyporu zależy od kształtu ciała?

Pośrednio tylko o tyle, o ile kształt zmienia objętość zanurzoną. Dla tej samej zanurzonej objętości w tej samej cieczy siła wyporu jest taka sama, niezależnie od tego, czy ciało jest kulą, sześcianem czy walcem. Kształt ma jednak znaczenie dla stateczności i oporów ruchu, ale to drugie należy już bardziej do hydrodynamiki.

Czy ciśnienie atmosferyczne wpływa na siłę wyporu?

W wielu typowych sytuacjach otwartych jego wpływ nie zmienia wyniku na siłę wyporu, ponieważ jednakowe ciśnienie zewnętrzne działa na całą ciecz i w obliczeniu różnicy sił się redukuje. Gdy jednak zmienia się ciśnienie na powierzchni cieczy w sposób nierównomierny lub mamy bardziej złożony układ, trzeba je uwzględnić.

Od czego zależy to, jak duża część ciała pływającego jest zanurzona?

Od porównania ciężaru ciała z ciężarem wypartej cieczy. Ciało pływające zanurza się tak głęboko, aby siła wyporu zrównała się z jego ciężarem. Im większa średnia gęstość ciała względem cieczy, tym większa część jego objętości musi być zanurzona.

Czy większe naczynie daje większą siłę wyporu?

Nie samo z siebie. Jeśli ciało jest zanurzone w tej samej cieczy i wypiera taką samą objętość, siła wyporu pozostaje taka sama. Rozmiar czy kształt naczynia nie jest tu czynnikiem decydującym, o ile nie zmieniają się warunki hydrostatyczne.

Jak odróżnić ciśnienie bezwzględne od względnego?

Ciśnienie bezwzględne liczy się od próżni jako poziomu odniesienia. Ciśnienie względne, nazywane też nadciśnieniem lub ciśnieniem manometrycznym, podaje się względem ciśnienia atmosferycznego. W hydrostatyce często korzysta się z przyrostu ρgh, który opisuje zmianę ciśnienia względem powierzchni cieczy.

Czy można obliczać siłę wyporu zawsze ze wzoru Fw = ρgV?

W większości prostych zadań tak, ale trzeba pamiętać o założeniach: ciecz powinna być w równowadze hydrostatycznej, a gęstość w rozważanym obszarze powinna być w przybliżeniu stała. W bardzo dużych głębokościach, przy dużych zmianach temperatury lub w cieczach silnie niejednorodnych model może wymagać uściślenia.

Ostateczna odpowiedź na pytanie „od czego zależy siła wyporu” jest więc precyzyjna: od gęstości cieczy, przyspieszenia grawitacyjnego i objętości wypartej cieczy. Nie zależy ona bezpośrednio od masy ciała ani od kształtu naczynia. To jedno z najpiękniejszych i najbardziej użytecznych praw hydrostatyki, łączące prosty wzór z ogromną liczbą zastosowań w przyrodzie, technice i codziennym doświadczeniu.