Kierunek działania siły wyporu

Kierunek działania siły wyporu jest w warunkach klasycznej hydrostatyki skierowany pionowo ku górze, czyli przeciwnie do kierunku działania siły ciężkości. Nie wynika to z „lekkości” ciała ani z jakiejś osobnej własności wody, lecz z tego, że ciśnienie w cieczy rośnie wraz z głębokością. Na dolną część zanurzonego ciała ciecz naciska więc mocniej niż na jego górną część, a wypadkowa tych nacisków daje siłę wyporu. To jedno z podstawowych zjawisk hydrostatyki i zarazem klucz do zrozumienia, dlaczego statki pływają, balony zanurzone w wodzie mogą się wynurzać, a ciało zanurzone w cieczy ma mniejszy pozorny ciężar.

Skąd bierze się kierunek siły wyporu?

W hydrostatyce rozpatrujemy ciecze pozostające w spoczynku albo w stanie równowagi. W takich warunkach ciśnienie w cieczy działa we wszystkich kierunkach, a jego wartość zależy od głębokości. Dla jednorodnej cieczy o stałej gęstości, przy zaniedbaniu zmian temperatury i przy założeniu stałego przyspieszenia grawitacyjnego, przyrost ciśnienia hydrostatycznego opisuje zależność:

p = ρgh

gdzie:

p – przyrost ciśnienia hydrostatycznego w paskalach, Pa,
ρ – gęstość cieczy w kilogramach na metr sześcienny, kg/m3,
g – przyspieszenie grawitacyjne w metrach na sekundę do kwadratu, m/s2,
h – głębokość, czyli wysokość słupa cieczy nad danym punktem, w metrach, m.

Ten wzór nie opisuje całego ciśnienia w każdym przypadku, lecz przyrost ciśnienia wynikający z ciężaru słupa cieczy. Jeśli na powierzchnię cieczy działa ciśnienie atmosferyczne albo inne ciśnienie zewnętrzne, to ciśnienie całkowite wynosi odpowiednio:

pcałk = p0 + ρgh

gdzie p0 to ciśnienie działające na powierzchnię cieczy. Gdy liczymy siłę wyporu, zwykle istotna jest różnica ciśnień między dolną i górną częścią ciała. Właśnie ta różnica prowadzi do netto skierowanej ku górze siły.

Warto od razu odróżnić ciśnienie od siły. Ciśnienie to siła przypadająca na jednostkę powierzchni:

p = F/A

gdzie:

p – ciśnienie w paskalach, Pa,
F – siła w niutonach, N,
A – pole powierzchni w metrach kwadratowych, m2.

Pascal nie jest niutonem: Pa = N/m2. Ciecz wywiera nacisk na całą powierzchnię ciała, ale to wypadkowa tych lokalnych nacisków daje siłę wyporu.

Prawo Archimedesa i fizyczny mechanizm wyporu

Najważniejszym prawem opisującym siłę wyporu jest prawo Archimedesa. W dzisiejszej postaci mówi ono, że na ciało zanurzone w cieczy działa siła wyporu równa ciężarowi cieczy wypartej przez to ciało.

Fw = ρgV

gdzie:

Fw – siła wyporu w niutonach, N,
ρ – gęstość cieczy w kg/m3,
g – przyspieszenie grawitacyjne w m/s2,
V – objętość wypartej cieczy, czyli objętość zanurzonej części ciała, w m3.

Kierunek tej siły jest pionowo w górę, ponieważ ciężar wypartej cieczy także jest związany z kierunkiem grawitacji: ciężar działa pionowo w dół, więc siła równoważąca ten efekt ze strony cieczy ma zwrot przeciwny, czyli ku górze.

W szkolnym modelu przyjmuje się zwykle, że ciecz jest nieściśliwa. To bardzo dobre przybliżenie dla wielu zastosowań hydrostatyki, choć rzeczywiste ciecze są w niewielkim stopniu ściśliwe. Przy dużych głębokościach, bardzo wysokich ciśnieniach lub znacznych zmianach temperatury potrzebne bywają dokładniejsze modele.

Dlaczego siła wyporu jest skierowana pionowo ku górze?

Intuicyjnie można to wyjaśnić tak: boczne ścianki zanurzonego ciała są naciskane przez ciecz z różnych stron. Siły poziome wzajemnie się równoważą, jeśli ciało jest zanurzone w jednorodnej cieczy w stanie równowagi. Pozostaje różnica między naciskiem od dołu i od góry.

Dolna część ciała znajduje się głębiej, więc panuje tam większe ciśnienie hydrostatyczne. Skoro ciśnienie jest większe, to przy tym samym polu powierzchni siła nacisku od spodu także jest większa. Górna część ciała jest na mniejszej głębokości, gdzie ciśnienie jest mniejsze. Różnica tych nacisków daje wypadkową skierowaną w górę.

To wyjaśnienie pozostaje prawdziwe również dla ciał o bardziej skomplikowanych kształtach. Wtedy zamiast prostego porównania „góra–dół” trzeba zsumować naciski na całej powierzchni ciała, ale wynik w jednorodnym polu grawitacyjnym i dla cieczy w równowadze nadal prowadzi do siły wyporu skierowanej pionowo ku górze.

Ciśnienie hydrostatyczne a atmosferyczne

Częstym źródłem nieporozumień jest mieszanie ciśnienia hydrostatycznego z atmosferycznym. Ciśnienie hydrostatyczne to przyrost ciśnienia wynikający z ciężaru słupa cieczy nad rozważanym punktem. Ciśnienie atmosferyczne działa natomiast na powierzchnię cieczy z zewnątrz.

Jeżeli ciało jest zanurzone w otwartym zbiorniku, to ciśnienie atmosferyczne działa zarówno na górne, jak i dolne warstwy cieczy. W obliczaniu siły wyporu zwykle się ono skraca, bo interesuje nas różnica ciśnień między różnymi głębokościami. Dlatego wypór można poprawnie opisywać samym wyrażeniem ρgV, mimo że rzeczywiste ciśnienie bezwzględne w cieczy jest większe.

Warto też odróżnić:

ciśnienie bezwzględne – liczone względem próżni,
ciśnienie względne – liczone względem ciśnienia atmosferycznego.

W hydrostatyce technicznej ma to znaczenie na przykład przy manometrach i zbiornikach zamkniętych.

Od czego zależy wartość siły wyporu?

Choć kierunek działania siły wyporu jest stały w klasycznej hydrostatyce, jej wartość zależy od kilku wielkości:

gęstości cieczy ρ,
przyspieszenia grawitacyjnego g,
objętości wypartej cieczy V.

Nie zależy natomiast bezpośrednio od masy ciała. To bardzo ważne. Dwa ciała o tej samej objętości zanurzonej, zanurzone w tej samej cieczy, doznają takiej samej siły wyporu, nawet jeśli jedno jest z drewna, a drugie z ołowiu. Różnica polega na tym, że ich ciężary są inne, więc jedno może pływać, a drugie tonąć.

Jeśli ciało jest całkowicie zanurzone, to V oznacza objętość całego ciała. Jeśli pływa częściowo zanurzone, to V oznacza tylko objętość zanurzonej części. Właśnie dlatego statek nie musi zanurzać się cały: wypiera tylko tyle wody, by ciężar wypartej cieczy zrównał się z ciężarem statku.

Pływanie, tonięcie i unoszenie się ciała

O tym, czy ciało pływa, tonie czy „zawisa” w cieczy, decyduje porównanie siły wyporu z ciężarem ciała.

Jeśli Fw > Fg, ciało zaczyna się unosić ku górze.
Jeśli Fw < Fg, ciało tonie.
Jeśli Fw = Fg, ciało jest w równowadze.

Ciężar ciała wynosi:

Fg = mg

gdzie:

m – masa ciała w kilogramach, kg,
g – przyspieszenie grawitacyjne w m/s2.

Wygodnie można to też formułować przez porównanie średniej gęstości ciała z gęstością cieczy:

jeśli średnia gęstość ciała jest mniejsza od gęstości cieczy, ciało może pływać,
jeśli jest większa, ciało tonie,
jeśli jest równa, ciało może pozostawać całkowicie zanurzone bez opadania i bez wypływania.

Dlatego mały kawałek stali zwykle tonie, a wielki stalowy statek pływa. Nie przeczy to fizyce. Statek ma dużą objętość całkowitą wraz z wypełnionymi powietrzem przestrzeniami, więc jego średnia gęstość jest mniejsza od gęstości wody.

Pozorny ciężar i pomiar wyporu

Ciało zanurzone w cieczy wydaje się lżejsze. Ten efekt opisuje pozorny ciężar. Jeśli ciało wisi na dynamometrze i zanurzymy je w wodzie, wskazanie spadnie, bo część ciężaru „przejmuje” siła wyporu.

W uproszczonym opisie:

Fpoz = Fg – Fw

gdzie Fpoz to siła odczytywana na dynamometrze. To bardzo prosty i bezpieczny eksperyment szkolny, który dobrze pokazuje zarówno kierunek, jak i wartość siły wyporu.

Związek z naczyniami połączonymi, manometrami i prawem Pascala

Choć temat dotyczy kierunku działania siły wyporu, warto osadzić go w szerszym kontekście hydrostatyki. W cieczy znajdującej się w równowadze punkty położone na tej samej głębokości w tej samej jednorodnej cieczy mają takie samo ciśnienie. Z tego wynika zasada naczyń połączonych: w ramionach wypełnionych tą samą cieczą poziomy swobodnych powierzchni wyrównują się.

Jeśli w naczyniach połączonych znajdują się różne ciecze, ich wysokości słupów zależą od gęstości. Gęstsza ciecz może mieć niższy słup przy tej samej różnicy ciśnień.

Na tej samej podstawie działają manometry cieczowe: różnica wysokości słupów cieczy odpowiada różnicy ciśnień. Im większa gęstość cieczy manometrycznej, tym mniejsza potrzebna wysokość słupa dla tej samej różnicy ciśnień.

Historycznie pokrewnym zagadnieniem jest barometr rtęciowy, związany z doświadczeniami Torricellego. Wysokość słupa rtęci w barometrze równoważy ciśnienie atmosferyczne. To klasyczny przykład hydrostatycznej równowagi słupa cieczy.

Z kolei prawo Pascala mówi, że zmiana ciśnienia wywierana na ciecz zamkniętą rozchodzi się niezmniejszona do wszystkich części cieczy i ścian naczynia. Dzięki temu działają prasy i podnośniki hydrauliczne. Jeżeli ciśnienie wytwarzane na małym tłoku wynosi p, to na dużym tłoku jest takie samo, a więc siła może być większa, bo:

F = pA

Większa powierzchnia tłoka daje większą siłę, ale układ hydrauliczny nie tworzy energii. Zysk siły odbywa się kosztem większej drogi ruchu drugiego tłoka oraz strat występujących w rzeczywistym układzie.

Najważniejsze informacje

Zagadnienie	Zależność lub opis	Znaczenie fizyczne	Przykład
Kierunek siły wyporu	Siła wyporu działa pionowo ku górze, przeciwnie do ciężaru.	Wynika z tego, że ciśnienie w cieczy rośnie z głębokością, więc nacisk od dołu jest większy niż od góry.	Zanurzony klocek jest „podtrzymywany” przez wodę od spodu mocniej niż dociskany od góry.
Ciśnienie hydrostatyczne	p = ρgh	Opisuje przyrost ciśnienia wynikający z ciężaru słupa cieczy nad rozważanym punktem.	Nurek odczuwa większe ciśnienie na większej głębokości.
Ciśnienie całkowite	pcałk = p0 + ρgh	Do przyrostu hydrostatycznego trzeba dodać ciśnienie działające na powierzchnię cieczy, na przykład atmosferyczne.	W otwartym zbiorniku woda na głębokości jest poddana i ciśnieniu atmosferycznemu, i hydrostatycznemu.
Prawo Archimedesa	Fw = ρgV	Siła wyporu jest równa ciężarowi wypartej cieczy i zależy od objętości części zanurzonej.	Areometr zanurza się do takiej głębokości, przy której wypór równoważy jego ciężar.
Ciśnienie a siła	p = F/A	To ciśnienie działa lokalnie na powierzchnię, a siła jest wynikiem działania ciśnienia na określone pole.	Duży tłok hydrauliczny daje większą siłę przy tym samym ciśnieniu.
Warunek pływania i tonięcia	Porównuje się Fw z Fg albo średnią gęstość ciała z gęstością cieczy.	Ciało tonie, gdy jego ciężar przewyższa wypór, a pływa, gdy wypór może go zrównoważyć przy częściowym zanurzeniu.	Statek pływa, a mały stalowy gwóźdź tonie.
Naczynia połączone	Na tej samej głębokości w tej samej cieczy w równowadze ciśnienie jest jednakowe.	Poziomy tej samej cieczy wyrównują się; dla różnych cieczy wysokości zależą od ich gęstości.	W U-rurce z wodą oba ramiona mają jednakowy poziom wody.
Prawo Pascala	Zmiana ciśnienia w zamkniętej cieczy przenosi się niezmniejszona.	Umożliwia działanie układów hydraulicznych, ale bez tworzenia energii z niczego.	Podnośnik samochodowy i hamulce hydrauliczne.

Praktyczne zastosowania kierunku siły wyporu

Najbardziej oczywistym zastosowaniem jest żegluga. Kadłub statku projektuje się tak, by przy określonym zanurzeniu wypierał odpowiednią objętość wody. Siła wyporu musi równoważyć ciężar statku wraz z ładunkiem. Jeśli masa rośnie, statek zanurza się głębiej, aż objętość wypartej wody wzrośnie na tyle, by uzyskać większy wypór.

W łodziach podwodnych kontroluje się wyporność przez zbiorniki balastowe. Zmiana ilości wody i powietrza w tych zbiornikach zmienia średnią gęstość całego obiektu. To zastosowanie prawa Archimedesa w bardzo czystej postaci.

W biologii siła wyporu ma znaczenie dla organizmów wodnych. Pęcherz pławny ryb pomaga regulować średnią gęstość ciała. Z kolei w medycynie hydrostatyka jest ważna przy pomiarach ciśnienia, doborze kroplówek i analizie rozkładów ciśnień w płynach ustrojowych, choć rzeczywiste układy biologiczne często wykraczają poza prosty model szkolny.

W inżynierii wodnej uwzględnia się nie tylko wypór, ale też rozkład ciśnienia na ścianach i dnie zbiorników, zapór oraz konstrukcji podwodnych. Ciśnienie rośnie z głębokością, dlatego dolne partie zapory muszą być masywniejsze. Nacisk cieczy na powierzchnie pionowe i nachylone nie jest równomierny, a jego analiza obejmuje także położenie środka parcia.

W technice pomiarowej hydrostatyka stoi za działaniem manometrów, areometrów i części czujników poziomu cieczy. W wodociągach oraz wieżach ciśnień wykorzystuje się zależność między wysokością słupa cieczy a ciśnieniem.

Najczęstsze błędy i nieporozumienia

„Siła wyporu działa tam, gdzie ciecz płynie do góry”. Nie. W hydrostatyce ciecz jest w spoczynku, a wypór wynika z rozkładu ciśnienia.
„Siła wyporu zależy od masy zanurzonego ciała”. Nie bezpośrednio. Zależy od gęstości cieczy, przyspieszenia grawitacyjnego i objętości wypartej cieczy.
„Ciężkie przedmioty zawsze toną”. Nie. Liczy się porównanie ciężaru z wyporem albo średniej gęstości ciała z gęstością cieczy.
„Im więcej wody w naczyniu, tym większe ciśnienie na tej samej głębokości”. Nie w prostym modelu hydrostatycznym. Na ciśnienie na danej głębokości wpływają ρ, g i h, a nie całkowita objętość zbiornika.
„Szerokie naczynie daje większe ciśnienie na dnie niż wąskie przy tej samej wysokości cieczy”. Nie. To klasyczny element hydrostatycznego paradoksu. Ciśnienie zależy od wysokości słupa cieczy, nie od kształtu naczynia.
„Ciśnienie działa tylko w dół”. Nie. W cieczy w spoczynku ciśnienie działa we wszystkich kierunkach.
„Układ hydrauliczny zwielokrotnia energię”. Nie. Większa siła na dużym tłoku pojawia się kosztem większej drogi ruchu lub czasu oraz strat.

Jak zaobserwować albo zmierzyć to zjawisko?

Najprostsza bezpieczna obserwacja polega na zanurzeniu przedmiotu zawieszonego na dynamometrze w naczyniu z wodą. Przed zanurzeniem dynamometr pokazuje ciężar ciała w powietrzu, a po zanurzeniu mniejszą wartość. Różnica wskazań odpowiada sile wyporu.

Można to rozpisać przykładowo. Załóżmy, że dynamometr pokazuje w powietrzu 5,0 N, a po całkowitym zanurzeniu 3,8 N. Wtedy:

Fw = 5,0 N – 3,8 N = 1,2 N

Interpretacja jest prosta: ciecz działa na ciało siłą wyporu 1,2 N skierowaną pionowo ku górze.

Inna metoda polega na zebraniu wypartej cieczy i porównaniu jej ciężaru z siłą wyporu. W przybliżeniu otrzymuje się zgodność z prawem Archimedesa. Takie doświadczenia są klasyczne dydaktycznie, ale należy wykonywać je ostrożnie i bez użycia ciężkich lub kruchych elementów.

Rozkład ciśnienia można też badać pośrednio manometrem cieczowym. Różnica wysokości słupów cieczy wskazuje różnicę ciśnień między dwoma punktami. To nie jest bezpośredni pomiar wyporu, ale dobrze pokazuje mechanizm stojący za jego powstawaniem.

Ciekawostki

Prawo Archimedesa sformułowano wiele wieków temu, ale jego współczesny zapis matematyczny jest wynikiem późniejszego rozwoju fizyki.
Legenda o okrzyku „Eureka!” jest słynna, lecz jej szczegółowy przebieg nie jest tak dobrze udokumentowany, jak często się sądzi.
Areometr mierzy pośrednio gęstość cieczy właśnie dzięki zależności między zanurzeniem a siłą wyporu.
W słonej wodzie łatwiej utrzymać się na powierzchni niż w słodkiej, bo większa gęstość cieczy zwiększa siłę wyporu.
Zmiana temperatury może zmienić gęstość cieczy, a więc i wartość wyporu, co bywa istotne w dokładniejszych pomiarach.
W bardzo małych skalach, na przykład dla drobnych pęcherzyków i kapilar, znaczenie mogą mieć także menisk i napięcie powierzchniowe, choć to nie zmienia podstawowego kierunku wyporu.
Hydrostatyczny paradoks pokazuje, że siła na dno zależy od wysokości słupa cieczy i pola dna, ale całkowite oddziaływanie cieczy na naczynie wymaga uwzględnienia także sił na ściany.
Na Księżycu lub innej planecie o innym przyspieszeniu grawitacyjnym siła wyporu miałaby inny zwrot nadal pionowy lokalnie ku górze, ale inną wartość, bo zależy od g.

FAQ

Czy siła wyporu zawsze działa pionowo do góry?

W klasycznej hydrostatyce, dla cieczy w równowadze i w zwykłym polu grawitacyjnym, tak. Jest skierowana przeciwnie do ciężaru, czyli pionowo ku górze. W bardziej złożonych układach, na przykład w przyspieszających cieczach, analiza wykracza poza prostą hydrostatykę.

Dlaczego boczne naciski cieczy nie przesuwają ciała na bok?

Bo w jednorodnej cieczy będącej w równowadze siły nacisku z przeciwnych stron na tej samej głębokości równoważą się. Pozostaje głównie różnica między naciskiem od dołu i od góry.

Czy siła wyporu zależy od głębokości zanurzenia?

Dla ciała całkowicie zanurzonego w jednorodnej, praktycznie nieściśliwej cieczy wartość siły wyporu nie zależy od samej głębokości, lecz od objętości wypartej cieczy. Głębokość zmienia ciśnienie bezwzględne, ale nie musi zmieniać różnicy ciśnień między górą a dołem ciała o stałej objętości.

Dlaczego statek pływa, a gwóźdź tonie, skoro oba są z metalu?

Bo o pływaniu decyduje średnia gęstość całego obiektu, a nie tylko materiał lokalnie. Statek dzięki swojemu kształtowi i pustym przestrzeniom wypiera dużą objętość wody przy stosunkowo małej średniej gęstości.

Czy ciśnienie hydrostatyczne zależy od kształtu naczynia?

Nie, jeśli porównujemy punkty na tej samej głębokości w tej samej jednorodnej cieczy będącej w równowadze. W prostym modelu zależy od ρ, g i h, a nie od kształtu zbiornika.

Jaka jest różnica między ciężarem a masą w kontekście wyporu?

Masa to ilość materii i mierzy się ją w kilogramach. Ciężar to siła grawitacji działająca na ciało i mierzy się go w niutonach. Siłę wyporu porównujemy z ciężarem, nie z samą masą.

Czy ciśnienie atmosferyczne wpływa na siłę wyporu?

Wpływa na ciśnienie całkowite w cieczy, ale w wielu typowych obliczeniach wyporu jego wpływ się skraca, bo działa na wszystkie poziomy cieczy. Dlatego wzór Fw = ρgV pozostaje poprawny w otwartym naczyniu.

Czy można mówić o sile wyporu w gazach?

Tak, zasada jest ta sama: atmosferyczne powietrze także jest płynem i wywołuje wypór. Dlatego balony unoszą się w powietrzu. Jednak główny temat tutaj dotyczy hydrostatyki cieczy, a nie aerostatyki.