Prawo Archimedesa ma bardzo szerokie zastosowanie: wyjaśnia, dlaczego statki pływają, jak działają łodzie podwodne, areometry, balony unoszące się w gazach oraz dlaczego ciało zanurzone w cieczy wydaje się lżejsze. Jest to jedno z podstawowych praw hydrostatyki, czyli działu fizyki zajmującego się cieczami pozostającymi w spoczynku lub w stanie równowagi. Intuicyjnie można powiedzieć, że ciecz „podtrzymuje” zanurzone ciało, ale precyzyjny mechanizm wynika z różnicy ciśnień działających na jego powierzchnię. To właśnie ta różnica ciśnień prowadzi do powstania siły wyporu.
Podstawa fizyczna prawa Archimedesa
Hydrostatyka opisuje rozkład ciśnienia w cieczy znajdującej się w równowadze. W prostym modelu cieczy jednorodnej i w przybliżeniu nieściśliwej ciśnienie rośnie wraz z głębokością zgodnie ze wzorem:
p = ρgh
gdzie:
- p – przyrost ciśnienia hydrostatycznego w paskalach, Pa,
- ρ – gęstość cieczy w kilogramach na metr sześcienny, kg/m³,
- g – przyspieszenie grawitacyjne w metrach na sekundę do kwadratu, m/s²,
- h – głębokość mierzona od swobodnej powierzchni cieczy w metrach, m.
Wzór p = ρgh opisuje tylko przyrost ciśnienia wynikający z ciężaru słupa cieczy. Jeżeli chcemy obliczyć ciśnienie całkowite, trzeba dodać ciśnienie działające na powierzchnię cieczy, najczęściej atmosferyczne. Wtedy:
pcałk = p0 + ρgh
gdzie p0 oznacza ciśnienie na powierzchni cieczy.
To bardzo ważne rozróżnienie. Ciśnienie hydrostatyczne jest skutkiem ciężaru cieczy, natomiast ciśnienie atmosferyczne pochodzi od powietrza nad cieczą. Dodatkowo warto odróżniać ciśnienie bezwzględne, liczone względem próżni, od ciśnienia względnego, mierzonego względem ciśnienia atmosferycznego.
W tej samej jednorodnej cieczy znajdującej się w równowadze punkty na tej samej głębokości mają takie samo ciśnienie. Co istotne, w prostym modelu ciśnienie hydrostatyczne nie zależy od kształtu naczynia, lecz od głębokości, gęstości cieczy i wartości g. To prowadzi do hydrostatycznego paradoksu: dwa naczynia o różnym kształcie mogą dawać takie samo ciśnienie na dnie, jeśli wysokość słupa cieczy jest taka sama.
Najważniejsze prawo i jego sens fizyczny
Prawo Archimedesa mówi, że na ciało zanurzone w cieczy działa skierowana ku górze siła wyporu równa ciężarowi cieczy wypartej przez to ciało. Współczesna postać matematyczna tego prawa ma formę:
Fw = ρgV
gdzie:
- Fw – siła wyporu w niutonach, N,
- ρ – gęstość cieczy w kg/m³,
- g – przyspieszenie grawitacyjne w m/s²,
- V – objętość wypartej cieczy w metrach sześciennych, m³.
Jeżeli ciało jest zanurzone całkowicie, objętość wypartej cieczy jest równa objętości zanurzonej części ciała. Jeżeli ciało pływa częściowo zanurzone, wtedy V oznacza tylko objętość części znajdującej się pod powierzchnią cieczy.
Prawo Archimedesa nie jest „osobną magiczną siłą”, lecz konsekwencją rozkładu ciśnienia w cieczy. Na dolną część ciała działa większe ciśnienie niż na górną, ponieważ znajduje się ona głębiej. Suma sił nacisku wywieranych przez ciecz daje wypadkową skierowaną ku górze, czyli siłę wyporu.
Warto przy tym rozróżnić kilka pojęć:
- masa – miara ilości materii, jednostka: kilogram, kg,
- ciężar – siła grawitacji działająca na ciało, jednostka: niuton, N,
- siła wyporu – siła pochodząca od cieczy, także w niutonach,
- ciśnienie – siła przypadająca na jednostkę powierzchni, jednostka: paskal, Pa.
Nie wolno mylić ciśnienia z siłą. Zależność między tymi wielkościami opisuje wzór:
p = F/A
gdzie:
- p – ciśnienie w Pa,
- F – siła prostopadła do powierzchni w N,
- A – pole powierzchni w metrach kwadratowych, m².
Jak powstaje siła wyporu?
Różnica ciśnień między górą a dołem ciała
Wyobraźmy sobie prostopadłościan zanurzony w wodzie. Na jego górną powierzchnię działa pewne ciśnienie, a na dolną większe, bo znajduje się ona głębiej. Siły działające z boków w stanie równowagi w dużej mierze się równoważą, natomiast pionowa różnica nacisków daje dodatnią siłę skierowaną ku górze.
Jeżeli wysokość zanurzonego fragmentu wynosi Δh, pole górnej i dolnej powierzchni to A, a ciecz jest jednorodna, to różnica ciśnień wynosi:
Δp = ρgΔh
Zatem różnica sił działających na dół i górę ciała jest równa:
Fw = Δp · A = ρgΔhA = ρgV
ponieważ ΔhA = V, czyli objętość zanurzonej części bryły. Tak właśnie z rozkładu ciśnienia hydrostatycznego wynika prawo Archimedesa.
Od czego zależy siła wyporu?
Siła wyporu zależy od trzech wielkości:
- gęstości cieczy ρ,
- przyspieszenia grawitacyjnego g,
- objętości wypartej cieczy V.
Nie zależy natomiast bezpośrednio od masy zanurzonego ciała. Dlatego dwa różne przedmioty o tej samej objętości zanurzonej w tej samej cieczy doświadczają takiej samej siły wyporu, nawet jeśli ich masy są różne.
To tłumaczy, dlaczego niewielka stalowa kulka tonie, a ogromny stalowy statek może pływać. O pływaniu nie decyduje to, czy ciało jest „ciężkie” w sensie potocznym, lecz czy jego średnia gęstość jest mniejsza, większa lub równa gęstości cieczy.
Warunki pływania, tonięcia i unoszenia się
Na ciało zanurzone w cieczy działają co najmniej dwie ważne siły: ciężar Fg skierowany w dół i siła wyporu Fw skierowana ku górze.
- Jeżeli Fg > Fw, ciało tonie.
- Jeżeli Fg < Fw, ciało wypływa ku górze.
- Jeżeli Fg = Fw, ciało pozostaje w równowadze.
Wygodniej często formułuje się to przez porównanie gęstości:
- jeśli średnia gęstość ciała jest większa od gęstości cieczy, ciało tonie,
- jeśli jest mniejsza, ciało pływa,
- jeśli jest równa, może unosić się w cieczy na dowolnej głębokości w stanie obojętnej równowagi.
Dla ciała pływającego częściowo zanurzonego zachodzi bardzo ważna zasada: ciało wypiera taką ilość cieczy, której ciężar jest równy ciężarowi ciała. Dlatego większy ładunek statku oznacza głębsze zanurzenie.
Pozorny ciężar ciała w cieczy
Ciało zanurzone w cieczy nie przestaje mieć masy ani ciężaru, ale jego pozorny ciężar jest mniejszy. Jeżeli ciało wisi na dynamometrze i zanurzymy je w wodzie, wskazanie spadnie o wartość siły wyporu.
W prostym ujęciu:
Fpoz = Fg – Fw
gdzie Fpoz to pozorny ciężar. To zjawisko wykorzystuje się w pomiarach gęstości materiałów oraz w praktyce nurkowej. Nurek odczuwa w wodzie mniejsze obciążenie stawów niż na lądzie, choć masa jego ciała się nie zmienia.
Prawo Archimedesa a naczynia połączone i ciśnienie
Choć prawo Archimedesa dotyczy wyporu, jego głęboki sens łączy się z ogólnymi prawami hydrostatyki. W naczyniach połączonych powierzchnie tej samej cieczy w warunkach równowagi ustawiają się na jednakowej wysokości, ponieważ ciśnienia na tym samym poziomie muszą być równe. Jeżeli w ramionach znajdują się różne ciecze, ich wysokości słupów są odwrotnie związane z gęstościami.
To samo rozumowanie stoi za działaniem manometrów cieczowych. Różnica poziomów cieczy wskazuje różnicę ciśnień, a wielkość efektu zależy od gęstości cieczy manometrycznej. Historycznie spokrewniony z tym jest barometr rtęciowy Torricellego, w którym ciśnienie atmosferyczne równoważy ciężar słupa rtęci.
Wszystkie te zjawiska wynikają z tej samej zasady: w cieczy w równowadze ciśnienie zmienia się z głębokością w sposób uporządkowany i przewidywalny.
Związek z prawem Pascala i techniką hydrauliczną
Prawo Archimedesa nie jest tym samym co prawo Pascala, ale oba prawa należą do hydrostatyki. Prawo Pascala mówi, że zmiana ciśnienia wywierana na ciecz zamkniętą rozchodzi się jednakowo we wszystkich kierunkach. W układach hydraulicznych prowadzi to do zależności:
p = F/A
a więc dla dwóch tłoków:
F1/A1 = F2/A2
Jeśli drugi tłok ma większą powierzchnię, można uzyskać większą siłę. Nie oznacza to jednak tworzenia energii. Wzrost siły odbywa się kosztem większej drogi ruchu mniejszego tłoka albo innych parametrów pracy układu. To ważne, ponieważ w potocznym języku często myli się „wzmocnienie siły” z „wytworzeniem darmowej energii”.
W praktyce prawo Pascala wykorzystują prasy hydrauliczne, podnośniki, hamulce hydrauliczne i wiele urządzeń technicznych. Choć nie są one bezpośrednim zastosowaniem prawa Archimedesa, pokazują szersze znaczenie hydrostatyki w technice.
Najważniejsze informacje
| Zagadnienie | Zależność lub opis | Znaczenie fizyczne | Przykład |
|---|---|---|---|
| Prawo Archimedesa | Fw = ρgV | Siła wyporu jest równa ciężarowi wypartej cieczy. | Pływanie statku na wodzie. |
| Ciśnienie hydrostatyczne | p = ρgh | Przyrost ciśnienia wynika z ciężaru słupa cieczy nad danym punktem. | Większe ciśnienie odczuwane przez nurka na większej głębokości. |
| Ciśnienie całkowite | pcałk = p0 + ρgh | Do ciśnienia hydrostatycznego trzeba dodać ciśnienie działające na powierzchnię cieczy. | Zbiornik otwarty na powietrze. |
| Warunek pływania | Dla ciała pływającego Fw = Fg | Ciało wypiera tyle cieczy, by jej ciężar zrównał się z ciężarem ciała. | Drewniany klocek częściowo zanurzony w wodzie. |
| Pozorny ciężar | Fpoz = Fg – Fw | Zanurzenie zmniejsza wskazanie siły podtrzymującej ciało. | Odczyt dynamometru po zanurzeniu próbki w wodzie. |
| Równość ciśnień na tej samej głębokości | W tej samej jednorodnej cieczy w równowadze ciśnienia są równe na tym samym poziomie. | To podstawa naczyń połączonych i manometrów. | Wyrównywanie poziomów wody w połączonych rurkach. |
| Prawo Pascala | Zmiana ciśnienia w zamkniętej cieczy przenosi się jednakowo. | Umożliwia uzyskiwanie dużych sił dzięki różnym polom tłoków. | Podnośnik hydrauliczny w warsztacie. |
| Hydrostatyczny paradoks | Ciśnienie na dnie zależy od ρ, g i h, a nie od kształtu naczynia. | Ta sama głębokość daje to samo ciśnienie w tej samej cieczy. | Różnie ukształtowane naczynia z wodą o tej samej wysokości słupa cieczy. |
Praktyczne zastosowania prawa Archimedesa
Statki i barki. Kadłub statku ma dużą objętość, a więc może wyprzeć dużą ilość wody. Mimo że statek ma dużą masę, jego średnia gęstość, liczona razem z powietrzem wewnątrz kadłuba, może być mniejsza od gęstości wody. Dzięki temu unosi się na powierzchni.
Łodzie podwodne. Zmieniają one swoje średnie zagęszczenie przez napełnianie i opróżnianie zbiorników balastowych. Gdy średnia gęstość jednostki rośnie, łódź zanurza się; gdy maleje, wynurza się. Ruch łodzi podwodnej jako przepływ przez wodę należy już do hydrodynamiki, ale samo zanurzanie i równowaga pionowa mają podstawę hydrostatyczną.
Areometry. To przyrządy do pomiaru gęstości cieczy. Pływają tym głębiej, im mniejsza jest gęstość badanej cieczy. Skala areometru wykorzystuje bezpośrednio warunek równowagi między ciężarem przyrządu a siłą wyporu.
Pomiary objętości i gęstości. Zanurzając ciało w cieczy i mierząc zmianę pozornego ciężaru, można wyznaczyć objętość ciała, a następnie jego gęstość. To klasyczna metoda laboratoryjna.
Medycyna i rehabilitacja. Ćwiczenia w wodzie odciążają układ ruchu, ponieważ siła wyporu zmniejsza pozorny ciężar pacjenta. To ułatwia ruch osobom po urazach lub operacjach.
Biologia i fizjologia. Organizmy wodne korzystają z wyporu, a wiele z nich reguluje położenie w wodzie przez zmianę objętości pęcherzy lub przestrzeni gazowych. U ryb rolę taką pełni pęcherz pławny.
Geologia i inżynieria. W gruntach nawodnionych siła wyporu wpływa na efektywny ciężar elementów konstrukcyjnych oraz na stateczność fundamentów, zbiorników i obudów podziemnych. Przy projektowaniu obiektów podwodnych trzeba uwzględniać nie tylko wypór, lecz także nacisk cieczy na ściany, dno i pokrywy.
Najczęstsze błędy i nieporozumienia
- „Przedmiot tonie, bo jest ciężki”. Nie zawsze. O tonięciu decyduje porównanie ciężaru z siłą wyporu albo, równoważnie, średniej gęstości ciała z gęstością cieczy.
- „Siła wyporu zależy od masy ciała”. Bezpośrednio nie. Zależy od objętości wypartej cieczy, jej gęstości oraz wartości g.
- „Większy zbiornik daje większe ciśnienie na tej samej głębokości”. W prostym modelu hydrostatycznym nie. Na tej samej głębokości w tej samej cieczy ciśnienie jest takie samo niezależnie od szerokości naczynia.
- „Ciśnienie i siła to to samo”. Nie. Ciśnienie to siła przypadająca na jednostkę powierzchni. Ta sama siła na mniejszej powierzchni daje większe ciśnienie.
- „Ciśnienie działa tylko w dół”. W cieczy w spoczynku ciśnienie działa we wszystkich kierunkach. To podstawa zarówno wyporu, jak i prawa Pascala.
- „Statek pływa, bo ma silnik”. Silnik służy do napędu, a nie do utrzymywania się na powierzchni. Samo pływanie, w sensie niewpadania pod wodę, wyjaśnia prawo Archimedesa.
- „Układ hydrauliczny tworzy energię”. Nie. Większa siła na dużym tłoku wynika z działania na większej powierzchni, ale odbywa się kosztem drogi i pracy wejściowej.
Jak zaobserwować lub zmierzyć to zjawisko?
Najprostsza bezpieczna obserwacja polega na zanurzeniu lekkiego i cięższego przedmiotu w wodzie i porównaniu ich zachowania. Dobry przykład to drewniany klocek, który pływa częściowo zanurzony, oraz metalowy element o niewielkiej objętości, który tonie. W obu przypadkach działa siła wyporu, ale jej relacja do ciężaru jest inna.
Można też użyć dynamometru i niewielkiego przedmiotu odpornego na wodę. Najpierw mierzy się jego ciężar w powietrzu, a potem wskazanie po całkowitym zanurzeniu w wodzie. Spadek odczytu odpowiada sile wyporu. Takie doświadczenie jest edukacyjne i bezpieczne, o ile używa się małych przedmiotów i prostych przyborów szkolnych.
Przykład liczbowy:
Dane:
- objętość całkowicie zanurzonego ciała: V = 0,002 m³,
- gęstość wody: ρ = 1000 kg/m³ w przybliżeniu,
- przyspieszenie grawitacyjne: g = 9,81 m/s².
Wzór:
Fw = ρgV
Podstawienie:
Fw = 1000 · 9,81 · 0,002
Obliczenie:
Fw = 19,62 N
Interpretacja: na ciało działa ku górze siła wyporu o wartości około 19,6 N. Jeśli ciężar ciała jest większy niż ta wartość, ciało zatonie; jeśli mniejszy, wypłynie.
Zjawisko można też mierzyć pośrednio przez zmianę poziomu cieczy w naczyniu miarowym. Objętość wypartej cieczy jest wtedy równa objętości zanurzonej części ciała. To szczególnie przydatne przy wyznaczaniu objętości nieregularnych brył.
Ciekawostki
- Prawo Archimedesa sformułowano już w starożytności, ale jego współczesne wyjaśnienie opiera się na pojęciu ciśnienia i równowagi sił.
- Historia okrzyku „Eureka!” jest słynna, lecz jej szczegółowy przebieg nie jest tak dobrze udokumentowany, jak często się sądzi.
- To samo prawo działa nie tylko w cieczach, ale także w gazach. Dlatego balon z helem unosi się w powietrzu.
- Morze Martwe ułatwia unoszenie się człowieka na powierzchni, ponieważ bardzo duże zasolenie zwiększa gęstość wody, a więc i siłę wyporu.
- W bardzo dokładnych obliczeniach trzeba uwzględniać zależność gęstości cieczy od temperatury i czasem od ciśnienia.
- Rzeczywiste ciecze są w niewielkim stopniu ściśliwe, choć w wielu zadaniach szkolnych przyjmuje się model cieczy nieściśliwej.
- W małych skalach, na przykład w bardzo cienkich rurkach, na zachowanie cieczy może wpływać menisk i zjawiska kapilarne, ale nie zmienia to podstawowej treści prawa Archimedesa.
- Przy projektowaniu zapór i zbiorników sama wartość ciśnienia na dnie nie wystarcza; trzeba analizować także rozkład nacisku na ściany oraz położenie środka parcia.
FAQ
Dlaczego statek z metalu pływa, a metalowy gwóźdź tonie?
Decyduje nie sam materiał, lecz średnia gęstość całego obiektu. Statek ma dużą objętość dzięki pustemu kadłubowi i wypiera dużo wody, więc jego średnia gęstość może być mniejsza od gęstości wody. Gwóźdź ma małą objętość w stosunku do swojej masy, dlatego siła wyporu jest zbyt mała, by zrównoważyć jego ciężar.
Czy siła wyporu rośnie z głębokością?
Dla ciała całkowicie zanurzonego w jednorodnej cieczy o stałej gęstości, w przybliżeniu nie. Rośnie ciśnienie na całym ciele, ale jednocześnie podobnie rosną naciski z góry i z dołu. O wyporze decyduje różnica ciśnień zależna od wysokości zanurzonego ciała, a nie bezwzględna głębokość. Wyjątki pojawiają się, gdy gęstość cieczy zmienia się z głębokością albo ciało zmienia objętość pod wpływem ciśnienia.
Czy ciało całkowicie zanurzone może pływać?
Tak. Jeśli jego średnia gęstość jest równa gęstości cieczy, może pozostawać całkowicie zanurzone w równowadze na pewnej głębokości. Taką sytuację wykorzystują między innymi łodzie podwodne przy tzw. pływalności neutralnej.
Jak prawo Archimedesa wiąże się z ciśnieniem hydrostatycznym?
Siła wyporu wynika z tego, że ciśnienie hydrostatyczne rośnie z głębokością. Dolna część ciała jest ściskana mocniej niż górna, więc powstaje wypadkowa siła skierowana ku górze. Bez zależności p = ρgh nie byłoby klasycznego wyjaśnienia prawa Archimedesa.
Czy na Księżycu prawo Archimedesa też obowiązuje?
Tak, ale siła wyporu byłaby mniejsza, ponieważ we wzorze Fw = ρgV występuje przyspieszenie grawitacyjne g. Mniejszy ciężar miałaby jednak również sama ciecz i zanurzone ciało. Relacje równowagi pozostają więc podobne, choć wartości sił są inne.
Czy większa ilość wody zawsze oznacza większą siłę wyporu?
Nie bezpośrednio. Siła wyporu zależy od objętości wypartej cieczy, a nie od całkowitej ilości wody w naczyniu. Mały przedmiot zanurzony w ogromnym basenie i w małym pojemniku z tą samą cieczą doznaje tej samej siły wyporu, o ile jest zanurzony tak samo i ciecz ma tę samą gęstość.
Czy prawo Archimedesa działa tylko w wodzie?
Nie. Działa w każdej cieczy i w każdym gazie znajdującym się w polu grawitacyjnym. Wartość siły wyporu zależy od gęstości ośrodka, dlatego w gęstszych cieczach wypór jest większy niż w rzadszych.